量子力学
这个是我们专业学习的《理论物理基础导论》前面几章的一些知识点，不算多，也不算太难。里面可能有错误的地方我忘记修正或者没有发现的，请及时联系我修改。
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量子力学大题必考题记录
问题
设把宽为a的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
$$U(x)=\begin{cases}
0 & (\left | x \right | <\frac{a}{2} ) \
\infty & (\left | x \right | \ge \frac{a}{2} )
\end{cases}$$
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为：
$$\Psi _n=
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2}{a}}\cos\frac{n\pi}{a}x & n=1,3,5… \
\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi}{a}x & n=2,4,6…
\end{cases}$$
粒子的能量为
$$ E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2}n^2\qquad n=1,2,3,4…$$
答案
证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
$$\Psi(x)=0,\quad \left | x \right | \ge \frac{a}{2}$$
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\Psi^{‘’}(x)=E\Psi(x)
\quad \left | x \right |\le \frac{a}{2} $$
上式可变形为：
$$\Psi^{‘’}(x)+\frac{2\mu E}{\hbar^2}\Psi(x)=0$$
令$k^2=\frac{2\mu E}{\hbar^2}$，则方程化为：
$$\Psi^{‘’}+k^2\Psi(x)=0$$
该方程的通解为：
$$\Psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
$$\Psi(x)\bigg|{x=-\frac{a}{2}}^{}=0$$
$$\Psi(x)\bigg|{x=+\frac{a}{2}}^{}=0$$
将通解代入有
$$-A\sin \frac{ka}{2}+B\cos \frac{ka}{2}=0$$
$$A\sin \frac{ka}{2}+B\cos \frac{ka}{2}=0$$
由此可得
$$A\sin \frac{ka}{2}=0$$
$$B\cos \frac{ka}{2}=0$$
A和B不能同时为0，否则解无意义。$A\ne 0$则必有
$$\sin \frac{ka}{2}=0\Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{a} \quad n=2,4,6…$$
$B\ne 0$则必有：
$$\cos \frac{ka}{2}=0\Rightarrow k_n=\frac{n\pi}{a} \quad n=1,3,5…$$
由此可得方程的解为
$$\Psi _n(x)=
\begin{cases}
B\cos \frac{n\pi}{a}x & n=1,3,5… \
A\sin \frac{n\pi}{a}x & n=2,4,6…
\end{cases}$$
由归一化条件
$$A^2\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (\sin \frac{n\pi }{a}x)^2dx=A^2\frac{a}{2}=1 $$
$$B^2\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (\cos \frac{n\pi }{a}x)^2dx=B^2\frac{a}{2}=1 $$
解得
$$A=B=\sqrt{\frac{2}{a}}$$
故在阱内的波函数为
$$\Psi_n(x)=
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2}{a}}\cos \frac{n\pi }{a}x & n=1,3,5… \
\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi }{a}x & n=2,4,6… \
\end{cases}$$
粒子的能量
$$E_n=\frac{k^2\hbar^2}{2\mu}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2\mu a^2}n^2 \quad n=1,2,3…$$
波函数的两个表达式还能统一成一个表达式
$$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}(x+\frac{a}{2}),\quad n=1,2,3…$$
书中例题与习题不同的是将坐标原点取在阱势的左边界上，其解为
$$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x \quad n=1,2,3…$$
因此只要作坐标平移代换$x=x_1+\frac{a}{2}$，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果
